专为程序员设计的线性代数课程

欢迎大家来到《专给程序员设计的线性代数》，在这个课程中，我们将使用编程的方式，学习线性代数，
这个近现代数学发展中最为重要的分支。学懂线性代数，是同学们深入学习人工智能，机器学习，深度
学习，图形学，图像学，密码学，等等诸多领域的基础。从这个课程开始，让我们真正学懂线性代数！...
1-1 《专为程序员设计的线性代数课程》导学 (14:51)
1-2 课程学习的更多补充说明 (17:55)
1-3 线性代数与机器学习 (13:21)
1-4 课程使用环境搭建 (14:14)

向量，是线性代数研究的基本元素。在这一章，我们将引入向量。什么是向量？我们为什么要引入向量？
进而，我们将使用不同的视角看待向量，定义向量的基本运算，体会数学研究过程中，从底层开始，一
点一点向上搭建数学大厦的过程：）...
2-1 什么是向量. (16:11)
2-2 向量的更多术语和表示法 (08:15)
2-3 实现属于我们自己的向量 (12:41)
2-4 向量的两个基本运算. (09:38)
2-5 实现向量的基本运算. (16:05)
2-6 向量基本运算的性质与数学大厦的建立. (10:47)
2-7 零向量. (16:24)
2-8 实现零向量 (03:30)
2-9 一切从向量开始 (04:21)

在这一章，我们将重点介绍向量的两个高级运算：规范化和点乘。对于点乘运算，我们将深入理解其背后
的几何含义，并且结合诸多应用，理解点乘这个看起来奇怪的运算，背后的意义，以及在诸多领域的应用：）
3-1 规范化和单位向量. (12:47)
3-2 实现向量规范化 (15:54)
3-3 向量的点乘与几何意义. (14:00)
3-4 向量点乘的直观理解 (09:00)
3-5 实现向量的点乘操作 (05:04)
3-6 向量点乘的应用. (17:36)
3-7 Numpy 中向量的基本使用 (21:17)

向量是对数的拓展，矩阵则是对向量的拓展。虽说线性代数研究的基本元素是向量，但其实大家更常看见
矩阵！在这一章，我们将深入矩阵，不仅学习什么是矩阵，矩阵的运算等基础内容，更将从用更深刻的
视角看待矩阵：矩阵也可以看做是对一个系统的描绘；以及，矩阵也可以被看做是向量的函数！...
4-1 什么是矩阵 (09:53)
4-2 实现属于我们自己的矩阵类 (16:15)
4-3 矩阵的基本运算和基本性质 (11:54)
4-4 实现矩阵的基本运算 (13:53)
4-5 把矩阵看作是对系统的描述 (21:54)
4-6 矩阵和向量的乘法与把矩阵看作向量的函数 (16:01)
4-7 矩阵和矩阵的乘法 (20:12)
4-8 实现矩阵的乘法 (11:30)
4-9 矩阵乘法的性质和矩阵的幂 (09:55)
4-10 矩阵的转置 (10:28)
4-11 实现矩阵的转置和Numpy中的矩阵 (14:24)

在我们学习了矩阵之后，就已经可以将线性代数的知识应用在诸多领域了！在这一章，我们将把线性代数
具体应用在图形学中！同时，我们将继续学习和矩阵相关的诸多概念，如单位矩阵和矩阵的逆。最重要
的是：我们将揭示看待矩阵的一个重要视角：把矩阵看作是空间！ ...
5-1 更多变换矩阵 (14:24)
5-2 矩阵旋转变换和矩阵在图形学中的应用 (14:45)
5-3 实现矩阵变换在图形学中的应用 (17:16)
5-4 从缩放变换到单位矩阵 (10:47)
5-5 简单的图形学变换
5-6 矩阵的逆 (12:26)
5-7 实现单位矩阵和numpy中矩阵的逆 (09:07)
5-8 矩阵的逆的性质 (13:55)
5-9 看待矩阵的关键视角：用矩阵表示空间 (22:24)
5-10 总结：看待矩阵的四个重要视角 (08:42)

线性系统听起来很高大上，但是它的本质就是线性方程组！这个看似简单的形式，其实也隐藏着不小的学
问，同时在各个领域都被大量使用。在这一章，我们将看到当引入矩阵，向量这些概念以后，求解线性
方程组是多么的容易。...
6-1 线性系统与消元法 (13:55)
6-2 高斯消元法 (22:02)
6-3 高斯-约旦消元法 (13:54)
6-4 实现高斯-约旦消元法 (25:09)
6-5 行最简形式和线性方程组解的结构 (23:09)
6-6 直观理解线性方程组解的结构 (22:41)
6-7 更一般化的高斯-约旦消元法 (17:03)
6-8 实现更一般化的高斯-约旦消元法 (18:34)
6-9 齐次线性方程组 (09:40)
6-10 关于线性系统

在上一章，我们详细的学习了线性系统的求解。在这一章，我们就将看到线性系统的一个重要的应用——
求解矩阵的逆。千万不要小瞧矩阵的逆，一个矩阵是否可逆，和诸多线性代数领域的高级概念相关。在
这一章，我们也将一窥一二。同时，我们还会学习初等矩阵的概念，同时，涉足我们在这个课程中将向
大家介绍的第一个矩阵分解算法...
7-1 线性系统与矩阵的逆 (22:32)
7-2 实现求解矩阵的逆 (10:24)
7-3 初等矩阵 (20:45)
7-4 从初等矩阵到矩阵的逆 (15:22)
7-5 为什么矩阵的逆这么重要 (25:58)
7-6 矩阵的LU分解 (25:58)
7-7 实现矩阵的LU分解 (13:37)
7-8 非方阵的LU分解，矩阵的LDU分解和PLU分解 (16:50)
7-9 矩阵的PLUP分解和再看矩阵的乘法 (26:17)

空间，或许是线性代数世界里最重要的概念了。在这一章，我们将带领大家逐渐理解，听起来高大上又抽
象的空间，到底是什么意思？我们为什么要研究空间？空间又和我们之前探讨的向量，矩阵，线性系统
，等等等等，有什么关系。 ...
8-1 线性组合 (14:19)
8-2 线性相关和线性无关 (22:14)
8-3 矩阵的逆和线性相关，线性无关 (16:03)
8-4 直观理解线性相关和线性无关 (21:31)
8-5 生成空间 (16:03)
8-6 空间的基 (22:40)
8-7 空间的基的更多性质 (17:40)
8-8 本章小结：形成自己的知识图谱 (14:04)
8-9 关于总结

在之前的线性代数的学习中，我们一直在使用诸如2维空间，3维空间，n维空间这样的说法，但到底什
么是空间，什么是维度，我们却没有给出严格的定义。在这一章，我们就将严谨的来探讨，到底什么是
空间，什么是维度，进而，引申出更多线性代数领域的核心概念。 ...
9-1 空间，向量空间和欧几里得空间 (18:26)
9-2 广义向量空间 (18:28)
9-3 子空间 (23:06)
9-4 直观理解欧几里得空间的子空间 (16:50)
9-5 维度 (21:48)
9-6 行空间和矩阵的行秩 (20:48)
9-7 列空间 (14:19)
9-8 矩阵的秩和矩阵的逆 (17:25)
9-9 实现矩阵的秩 (18:57)
9-10 零空间与看待零空间的三个视角 (21:50)
9-11 零空间 与 秩-零化度定理 (20:52)
9-12 左零空间，四大子空间和研究子空间的原因 (17:01)

相信，上一章对空间的探讨，已经颠覆了大家对空间的理解：）但是，通常情况下，我们依然只对可以被
正交向量定义的空间感兴趣。在这一章，我们将看到正交的诸多优美性质，如何求出空间的正交基，以
及听起来高大上的，矩阵的QR分解。...
10-1 正交基与标准正交基 (16:48)
10-2 一维投影 (12:05)
10-3 高维投影和Gram-Schmidt过程 (16:02)
10-4 实现Gram-Schmidt过程 (15:59)
10-5 标准正交基的性质 (10:39)
10-6 矩阵的QR分解 (18:02)
10-7 实现矩阵的QR分解 (08:20)
10-8 本章小结和更多和投影相关的话题 (08:09)

在之前的学习，我们深入了解了空间，我们知道了一个空间可以对应无数组基。在这一章，我们就将探讨
这些基之间的关系——即坐标转换。与此同时，我们将看到线性代数领域，对线性变换的严谨数学定义。
11-1 空间的基和坐标系 (14:28)
11-2 其他坐标系与标准坐标系的转换 (10:07)
11-3 任意坐标系转换 (17:19)
11-4 线性变换 (19:52)
11-5 更多和坐标转换和线性变换相关的话题 (12:25)

行列式是在线性代数的世界里，被定义的另一类基本元素。在这一章，我们将学习什么是行列式，以及行
列式的基本运算规则，为后续两章学习更加重要的线性代数内容，打下坚实的基础！
12-1 什么是行列式 (22:51)
12-2 行列式的四大基本性质 (12:55)
12-3 行列式与矩阵的逆 (16:35)
12-4 计算行列式的算法 (17:21)
12-5 初等矩阵与行列式 (17:29)
12-6 行式就是列式！ (12:42)
12-7 华而不实的行列式的代数表达 (18:20)
12-8 关于行列式的编程实现

特征值和特征向量，或许是线性代数的世界中，最为著名的内容了。到底什么是特征值？什么是特征向量
？我们为什么要研究特征值和特征向量？在这一章都将一一揭晓。
13-1 什么是特征值和特征向量 (19:38)
13-2 特征值和特征向量的相关概念 (14:09)
13-3 特征值与特征向量的性质 (15:59)
13-4 直观理解特征值与特征向量 (20:20)
13-5 “不简单”的特征值 (16:09)
13-6 实践numpy中求解特征值和特征向量 (13:55)
13-7 矩阵相似和背后的重要含义 (19:58)
13-8 换一个角度理解矩阵的相似
13-9 矩阵对角化 (15:35)
13-10 实现属于自己的矩阵对角化 (14:48)
13-11 矩阵对角化的应用：求解矩阵的幂和动态系统 (13:53)

在学习了特征值与特征向量以后，我们将在这一章，看线性代数领域中一类特殊的矩阵——对称矩阵，进
而，我们将来深入分析学习或许是线性代数的世界中，最为重要一个矩阵分解方式——SVD。
14-1 完美的对称矩阵 (11:06)
14-2 正交对角化 (17:17)
14-3 什么是奇异值 (13:32)
14-4 奇异值的几何意义 (14:35)
14-5 奇异值的SVD分解 (20:00)
14-6 实践scipy中的SVD分解 (09:31)
14-7 SVD分解的应用 (16:51)

恭喜大家完成了这门课程的学习。在学习完这门课程之后，如果想深入线性代数的世界，还可以向哪些方
向探索？这一小节就将向大家介绍更广阔的线性代数世界！祝大家收获多多，进步多多，实现心中的梦想。大家加油！
15-1 更广阔的线性代数世界，大家加油！ (11:38)